교사를 위한 추상대수학 솔루션 (신현용) 풀이

교사를 위한 추상대수학 솔루션 (신현용) 풀이

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교사를 위한 추상대수학 솔루션 (신현용)

[솔루션] 교사를 위한 추상대수학 솔루션 저자 : 신현용 출판사 : 교우사 교사를 위한 수학 전문서. 이 책은 대수적 구조와 부분구조, 대수적 구조를 위한 함수와 응용, 답에 이르기까지의 내용으로 구성했다.

제1부 대수적 구조
1 들어가며
2 기본적인 대수적 구조: 군, 환, 벡터공간
3 부분구조: 부분군, 부분환, 부분공간
4 특별한 부분구조와 상 구조
5 대수적 구조를 비교하기 위한 함수: 군(환)준동형사상, 선형사상
6 더 큰 구조의 구성: 직적(합)
7 원소 하나가 만드는 구조: 순환군, 단항이데알
8 또 하나의 특별한 군: 가해군
9 유한체를 어떻게 구성하나: 극대이데알
10 마무리

제2부 대수적 구조의 응용
11 들어가며
12 기하 문제를 대수 문제로: 작도 가능성
13 방정식의 근, 어디 있나: 분해체
14 체의 문제를 군의 문제로: 갈로아 군
15 유용한 확대체: 갈로아 확대체
16 문제 푸믐 열쇠: 갈로아 이론의 기본 정리
17 다항식, 풀 수 있나: 시원한 대답
18 마무리
제1부

제Ⅰ장
[과제 1.1]

(1)
p T T T T F F F F q T T F F T T F F

?
T F T F T F T F

q∨r T T T F T T T F

p → ( q ∨r) T T T F T T T T

p ∧∼q F F T T F F F F

( p ∧∼q) → r T T T F T T T T

(2) 위 (1)에 의하여 ‘ xy = 0 이고 x≠0 이면 y = 0 이다’를 증명한다.
x≠0 이므로 xy = 0 의 양변에 1 을 곱하면 x 1 1 ?xy = ?0 이다. 즉, y = 0 이다. x x

[과제 1.2]

(1) 집합 X 위에서 관계 ? 에 대하여 다음 세 조건을 만족시킬 때 ?을 동치관 계라고 한다. 여기서 ‘ x?y ’는 ‘ x 와 y 가 관계있다’는 뜻이고 ‘ ( x , y)∈? ’와 같 이 나타내기도 한다. (ⅰ) 임의의 x ∈X 에 대하여 x ? x 이다(반사적 성질). (ⅱ) x?y 이면 y?x 이다(대칭적 성질). (ⅲ) x?y 이고 y?z 이면 x?z 이다 (추이적 성질). 즉, 관계 ?가 반사적, 대칭적, 추이적이면 ?는 동치관계이다. (2) 관계 ?를 공집합이 아닌 집합 X 위의 동치관계라고 할 때 각 x∈X 에 대하여
x = { y∈X | y?x} 로 정의된 집합을 x 에 의한 동치류라고 한다. 일반적으로 X 의 ? 에 의한 동치류 전체의 집합을 X/? 와 같이 나타낸다.

즉, X/? = { x | x ∈X } 이며 ‘ X mod ? ’ 라고 읽는다. (3) 공집합이 아닌 집합 X 에 대하여 X 의 분할 ? 는 다음 두 조건을 만족시키 는 공집합이 아닌 X 의 부분집합의 집합이다. (ⅰ) A, B ∈ ? 이고 A≠B 이면 A∩B = ? 이다.

- 1 -

(ⅱ) ∪

c∈? C

=X

직관적으로 말하면 집합 X 의 분할은 X 를 공집합이 아닌 서로 사이에 교집합 이 없는 X 의 부분집합으로 나누어 놓은 것을 뜻한다. 위 (2)에서 X 의 동치 류 전체의 집합 X/? 는 X 의 분할이다.
[과제 1.3]

집합 X 가 자연수 집합 ? 과 일대일 대응일 때 X 를 가부번집합이라고 한다. 무한집합은 가부번 집합과 비가부번(non-denumerable) 집합으로 나눌 수 있는데 이 때 집합 ? 이 중요한 척도가 된다. 집합 X 가 가부번 집합이면 일대일 대응 함수
f : ? →X 가 존재하여 f ( 1) = x 1 , f ( 2) = x 2 , f ( 3) = x 3 , ?, f ( k) = x k , ?

이므로 X 의 모든 원소에 번호를 주어 X = { x 1, x 2, ?, x k, ? } 와 같이 나타낼 수 있다.
[과제 1.5]
g : ? →?, g( x) = 2x + 1 과 f : ? →?, f ( x) = 3x 를 생각하면 다음과 같다. g?f ( x) = 2( 3x) + 1 = 6x + 1 , f?g( x) = 3( 2x + 1) = 6x + 3

그러므로 g?f≠f?g 이다.
[과제 1.7]

(1) (가) y ∈f ( ∪ A γ ) ⇔ y = f ( x) 인 적당한 x ∈ ∪ A γ 가 존재한다. γ∈ Γ γ ∈Γ
⇔ 적당한 γ ∈Γ 에 대하여 y = f ( x) 인 적당한 x ∈A γ 가 존재

한다.
⇔ 적당한 γ ∈Γ 에 대하여 y ∈f ( A γ ) 이다. ⇔ y ∈ ∪ f (A γ) γ Γ
∈

그러므로 y ∈f ( ∪ A γ ) ⇔ y ∈ ∪ f( A γ ) 이다. γ ∈Γ γ ∈Γ 따라서 f ( ∪ A γ ) = ∪ f ( A γ ) 이다. γ∈ Γ γ∈ Γ (나) 각각의 γ ∈Γ 에 대하여 ∩ A γ⊆ A γ 이므로 f ( ∩ A γ ) ⊂ f ( A γ ) 이다. γ ∈Γ γ ∈Γ 일반적으로 A⊆B ⊆X 에 대하여 f ( A)⊆f ( B) 이기 때문이다. 따라서 f ( ∩ A γ ) ⊂ ∩ f ( A γ ) 이다. γ∈ Γ γ∈Γ (다) y ∈ ∩ f ( A r ) ⇔ 모든 γ ∈Γ 에 대하여 y ∈ f ( A r ) 이다. γ ∈Γ

- 2 -

⇔ 모든 γ ∈Γ 에 대하여 y = f ( x γ ) 인 x γ∈A

γ

가 존재한다.

그런데 f : X → Y 는 단사이므로 이들 x γ ∈ A γ 은 모두 같다. 그것을 x 0 라고 놓으면 y ∈ ∩ f ( A r ) ⇔ 모든 γ ∈Γ 에 대하여 y = f ( x 0 ) 인 x 0 ∈ A γ 가 존 γ ∈Γ 재한다.
⇔ y = f ( x 0 )인 x 0 ∈ ∩ A γ Γ
∈

γ

가 존재한다.

⇔ y ∈ f ( ∩ A γ) γ Γ
∈

(2) (가) x ∈f - 1 ( ∪ B γ ) ⇔ f ( x) ∈ ∪ B γ γ ∈Γ γ∈ Γ
⇔ 적당한 γ∈Γ 에 대하여 y = f ( x) 인 적당한 y ∈B γ 가 존재

한다.
-1 ⇔ 적당한 γ ∈Γ 에 대하여 x ∈f (B γ ) 이다. -1 (B γ) ⇔ x∈ ∪ f γ Γ ∈

(나)

x ∈f - 1 ( ∩ B γ ) ⇔ f ( x) ∈ ∩ B γ γ Γ γ Γ
∈ ∈

⇔ 모든 γ∈Γ 에 대하여 f ( x) ∈B γ 이다.
-1 ⇔ 모든 γ∈Γ 에 대하여 x ∈f (B γ ) 이다.

⇔ x∈ ∩ f γ Γ
∈

-1

(B γ) a ∈f
-1

(3) (가) 임의의

a ∈A 에 대하여

f ( a) ∈f ( A) 즉,

(f ( A)) 이다. 따라서

A⊆f - 1 (f ( A)) 이다.

(나) f 가 단사이면 임의의 a ∈A 에 대하여 f ( a) 의 역상은 a 밖에 없다. 따 라서 f - 1 (f ( A)) ⊂A 이고 위 (가)에 의하여 A = f - 1 (f ( A)) 이다. (4) (가) 임의의 b ∈B 에 대하여 f - 1 (b) 가 존재한다면 f - 1 (b) 의 f 에 의한 상은
-1 B 에 포함되어야 하므로 f ( f (B)) ⊆B 이다.

(나) f 가

전사이면
-1

임의의

b ∈B 에

대하여

f - 1 (b) 가

항상

자료출처 : http://www.ALLReport.co.kr/search/Detail.asp?pk=11036669&sid=knp868group1&key=



[문서정보]

문서분량 : 125 Page
파일종류 : PDF 파일
자료제목 : 교사를 위한 추상대수학 솔루션 (신현용)
파일이름 : 교사를_위한_추상대수학_과제풀이집.pdf
키워드 : 솔루션,교사를,위한,추상대수학,신현용
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